Question

四棱錐―中，底面為菱形，其對(duì)角線、交于點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，中,

       （Ⅰ）求證：平面；

       （Ⅱ）求二面角――的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）為菱形，

         為對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)

         為等邊三角形，為等腰三角形，

         ∴PO⊥AC，PO⊥BD

         平面

         （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知平面，作,垂足為E ，連結(jié),

        由三垂線定理知，是二面角C―PA―B的平面角

         設(shè)為等邊三角形，

        為等腰直角三角形，

        在中，

      

       二面角C―PA―B的大小為

       解法2（面積射影）：由解法一知，

        取PB中點(diǎn)F，則

       可得

       設(shè)二面角C―PA―B的大小為

       由面積射影定理知，

       _∴二面角C―PA―B的大小為

       解法三向量方法：以O為原點(diǎn)，OA、OB、OP所在直線x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），P（0，0，a），

 

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，則，

由，得取z=1，得)

又平面PAC的一個(gè)法向量為

cos<n,

       _∴二面角C―PA―B的大小為_.