Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（-x-1）=f（x-1），當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x³，則關(guān)于x的方程f（x）=|cosπx|在[-$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的所有實(shí)數(shù)解之和為（　　）

• A． -7
• B． -6
• C． -3
• D． -1

Answer 1

分析 由f（x）是偶函數(shù)說(shuō)明函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由f（-x-1）=f（x-1），得到x=-1是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，只要找出函數(shù)f（x）的圖象與y=|cosπx|在[-$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$]上內(nèi)交點(diǎn)的情況，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可求出答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（-x-1）=f（x-1），
∴x=-1是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，
分別畫(huà)出y=f（x）與y=|cosπx|在[-$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$]上圖象，
交點(diǎn)依次為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，x₇，
∴x₁+x₇=-2，x₂+x₆=-2，x₃+x₅=-2，x₄=-1，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇=-2×3-1=-7，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用以及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與奇偶性等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題