Question

在四棱錐P-ABCD中，AB⊥CD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=

2

AD，直線PA與底面ABCD成60°，M、N分別是PA、PB的中點．
（1）求證：直線MN∥平面PDC；
（2）求平面MNCD與平面ABCD所成二面角的大小；
（3）若∠CND=90°，求證：直線DN⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理，有線面平行的判定定理，易證直線MN∥平面PDC；
（2）根據(jù)PD⊥底面ABCD，結合CD⊥AD可證得CD⊥面PAD，即CD⊥MD．可得∠MAD為平面MNCD與平面ABCD所成二面角的平面角，結合直線PA與底面ABCD成60°，可得答案．
（3）若∠CND=90°，則DN⊥CD，解三角形PAD可得DN⊥PB，由線面垂直的判定定理可得直線DN⊥平面PBC．

解答：證明：（1）∵M、N是PA、PB中點，
∴MN∥AB，從而MN∥CD．
∵MN在平面PDC外，CD在平面PDC內(nèi)，
∴直線MN∥平面PDC．
解：（2）∵PD⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，
∴PD⊥CD．
又CD∥AB，AB⊥AD，
∴CD⊥AD．
∴CD⊥面PAD．
∴CD⊥MD．
∴∠MAD為平面MNCD與平面ABCD所成二面角的平面角．
∴PD⊥底面ABCD．
∵M是PA的中點，
∴MD=MA．
∴∠MDA=60°．
∴平面MNCD與平面ABCD所成二面角的平面角為60°．
證明：（3）∵AB⊥AD，AB=

2

AD，
∴BD=

3

AD．
∵PD⊥底面ABCD，直線PA與底面ABCD成60°角，
∴PD=

3

AD．
∴PD=BD．
∵N是PB的中點，
∴DN⊥PB．
∵∠CND=90°，
∴DN⊥CD．
∵PB、CN相交于一點N，
∴直線DN⊥平面PBC．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，解答（1）（3）的關鍵是熟練掌握空間線面關系的判定定理，解得（2）的關鍵是構造二面角的平面角．