已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率為
2
3
3
,左、右焦點分別為F1、F2,在雙曲線C上有一點M,使MF1⊥MF2,且△MF1F2的面積為.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點P(3,1)的動直線 l與雙曲線C的左、右兩支分別交于兩點A、B,在線段AB上取異于A、B的點Q,滿足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,證明:點Q總在某定直線上.
分析:(1)由雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的離心率為
2
3
3
,知a2=3b2.由MF1⊥MF2,且△MF1F2的面積為1.知|MF1||MF2|=2.由此能導(dǎo)出雙曲線C的方程.
(2)解法1:設(shè)點Q,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<3,又設(shè)直線l的傾斜角為θ(θ≠
π
2
)
,分別過點P,Q,A,B作x軸的垂線,垂足分別為P1,Q1,A1,B1,則 |AP|=
|A1P1|
|cosθ|
=
3-x1
|cosθ|
,|PB|=
|P1B1|
|cosθ|
=
3-x2
|cosθ|
,|QB|=
|Q1B1|
|cosθ|
=
x2-x
|cosθ|
|AQ|=
|A1Q1|
|cosθ|
=
x-x1
|cosθ|
,由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,知(3-x1)(x2-x)=(x-x1)(3-x2),由此能夠證明點Q(x,y)總在定直線x-y-1=0上.
解法2:設(shè)點Q,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<3,由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,知[6-(x1+x2)]x=3(x1+x2)-2x1x2.由此能夠證明點Q(x,y)總在定直線x-y-1=0上.
解法3:設(shè)點Q,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),由題設(shè)知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不為零,記PBAQxyλ=
|AP|
|PB|
=
|AQ|
|QB|
.由過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支相交于兩點A,B,知λ>0且λ≠1.由A,P,B,Q四點共線,知
AP
=-λ
PB
,
AQ
QB
.由此能夠證明點Q(x,y)總在定直線x-y-1=0上.
解法4:設(shè)點Q,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),由題設(shè)知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不為零,記λ=
|AP|
|AQ|
=
|PB|
|QB|
.由過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于兩點A、B,知λ>0且λ≠1.由A,P,B,Q四點共線,設(shè)
PA
=λ1
AQ
,
PB
=λ2
BQ
,則λ12=0.由此能夠證明點Q(x,y)總在定直線x-y-1=0上.
解答:解:(1)∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的離心率為
2
3
3

a2+b2
a
=
2
3
3
.即a2=3b2.                      ①
∵MF1⊥MF2,且△MF1F2的面積為1.
S△MF1F2=
1
2
|MF1||MF2|=1
,即|MF1||MF2|=2.
∵||MF1|-|MF2||=2a,
∴|MF1|2-2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2
∴|F1F2|2-4=4a2
∴4(a2+b2)-4=4a2,∴b2=1.                     ②
將②代入①,得a2=3.
∴雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1

(2)解法1:設(shè)點Q,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<3,又設(shè)直線l的傾斜角為θ(θ≠
π
2
)
,分別過點P,Q,A,B作x軸的垂線,垂足分別為P1,Q1,A1,B1,
則 |AP|=
|A1P1|
|cosθ|
=
3-x1
|cosθ|
,|PB|=
|P1B1|
|cosθ|
=
3-x2
|cosθ|
,|QB|=
|Q1B1|
|cosθ|
=
x2-x
|cosθ|
,|AQ|=
|A1Q1|
|cosθ|
=
x-x1
|cosθ|
,
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,
∴(3-x1)(x2-x)=(x-x1)(3-x2),
即[6-(x1+x2)]x=3(x1+x2)-2x1x2.③
設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-3),④
將④代入
x2
3
-y2
=1中整理,得
(1-3k2)x2-6k(1-3k)x-3[(1-3k)2+1]=0.
依題意x1,x2是上述方程的兩個根,且1-3k2≠0,
x1+x2=
6k(1-3k)
1-3k2
x1x2=-
3[(1-3k)2+1]
1-3k2

將⑤代入③整理,得x-2=k(x-3).⑥
由④、⑥消去k得x-2=y-1,這就是點Q所在的直線方程.
∴點Q(x,y)總在定直線x-y-1=0上.
解法2:設(shè)點Q,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<3,
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,
AP
PB
=-
AQ
QB
,即
3-x1
x2-3
=-
x-x1
x2-x

即[6-(x1+x2)]x=3(x1+x2)-2x1x2
以下同解法1.
解法3:設(shè)點Q,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),
由題設(shè)知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不為零,記
PBAQxyλ=
|AP|
|PB|
=
|AQ|
|QB|

∵過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支
相交于兩點A,B,
∴λ>0且λ≠1.
∵A,P,B,Q四點共線,
AP
=-λ
PB
,
AQ
QB

(3-x1,1-y1)=-λ(x2-3,y2-1)
(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y).

3=
x1x2
1-λ
x=
x1x2
1+λ

由③消去λ,得[6-(x1+x2)]x=3(x1+x2)-2x1x2
以下同解法1.
解法4:設(shè)點Q,A,B的坐標分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2),
由題設(shè)知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不為零,記λ=
|AP|
|AQ|
=
|PB|
|QB|

∵過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于兩點A、B,
∴λ>0且λ≠1.
∵A,P,B,Q四點共線,
設(shè)
PA
=λ1
AQ
PB
=λ2
BQ
,則λ12=0.
(x1-3,y1-1)=λ1(x-x1,y-y1)
(x2-3,y2-1)=λ2(x-x2,y-y2).

x1=
3+λ1x
1+λ1
y1=
1+λ1y
1+λ1
.
x2=
3+λ2x
1+λ2
y2=
1+λ2y
1+λ2
.

∵點A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線C上,
(
3+λix
1+λi
)2-3(
1+λiy
1+λi
)2=3
,其中i=1,2.
∴λ1,λ2是方程(
3+λx
1+λ
)2-3(
1+λy
1+λ
)2=3
的兩個根.
即λ1,λ2是方程(x2-3y2-3)λ2+6(x-y-1)λ+3=0的兩個根.
∵λ12=0,且x2-3y2-3≠0,
λ1+λ2=-
6(x-y-1)
x2-3y2-3
=0
,即x-y-1=0.
∴點Q(x,y)總在定直線x-y-1=0上.
點評:本小題主要考查雙曲線、解方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•許昌三模)已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是
2
,
3
2
,
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•寧波模擬)已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。

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科目:高中數(shù)學 來源:寧波模擬 題型:單選題

已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是______.

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