Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

2 3

3

，左、右焦點分別為F₁、F₂，在雙曲線C上有一點M，使MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面積為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點P（3，1）的動直線 l與雙曲線C的左、右兩支分別交于兩點A、B，在線段AB上取異于A、B的點Q，滿足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，證明：點Q總在某定直線上．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2 3

3

，知a²=3b²．由MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面積為1．知|MF₁||MF₂|=2．由此能導(dǎo)出雙曲線C的方程．
（2）解法1：設(shè)點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，又設(shè)直線l的傾斜角為θ(θ≠

π

2

)，分別過點P，Q，A，B作x軸的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，A₁，B₁，則 |AP|=

|A1P1|

|cosθ|

=

3-x1

|cosθ|

，|PB|=

|P1B1|

|cosθ|

=

3-x2

|cosθ|

，|QB|=

|Q1B1|

|cosθ|

=

x2-x

|cosθ|

，|AQ|=

|A1Q1|

|cosθ|

=

x-x1

|cosθ|

，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知（3-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（3-x₂），由此能夠證明點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解法2：設(shè)點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．由此能夠證明點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解法3：設(shè)點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設(shè)知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記PBAQxyλ=

|AP|

|PB|

=

|AQ|

|QB|

．由過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支相交于兩點A，B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四點共線，知

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

．由此能夠證明點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解法4：設(shè)點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設(shè)知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記λ=

|AP|

|AQ|

=

|PB|

|QB|

．由過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于兩點A、B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四點共線，設(shè)

PA

=λ1

AQ

，

PB

=λ2

BQ

，則λ₁+λ₂=0．由此能夠證明點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2 3

3

，
∴

a2+b2

a

=

2 3

3

．即a²=3b²．                      ①
∵MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面積為1．
∴S△MF1F2=

1

2

|MF1||MF2|=1，即|MF₁||MF₂|=2．
∵||MF₁|-|MF₂||=2a，
∴|MF₁|²-2|MF₁||MF₂|+|MF₂|²=4a²．
∴|F₁F₂|²-4=4a²．
∴4（a²+b²）-4=4a²，∴b²=1．                     ②
將②代入①，得a²=3．
∴雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）解法1：設(shè)點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，又設(shè)直線l的傾斜角為θ(θ≠

π

2

)，分別過點P，Q，A，B作x軸的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，A₁，B₁，
則 |AP|=

|A1P1|

|cosθ|

=

3-x1

|cosθ|

，|PB|=

|P1B1|

|cosθ|

=

3-x2

|cosθ|

，|QB|=

|Q1B1|

|cosθ|

=

x2-x

|cosθ|

，|AQ|=

|A1Q1|

|cosθ|

=

x-x1

|cosθ|

，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴（3-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（3-x₂），
即[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．③
設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-3），④
將④代入

x2

3

-y2=1中整理，得
（1-3k²）x²-6k（1-3k）x-3[（1-3k）²+1]=0．
依題意x₁，x₂是上述方程的兩個根，且1-3k²≠0，
∴

x1+x2= 6k(1-3k) 1-3k2 x1x2=- 3[(1-3k)2+1] 1-3k2

⑤
將⑤代入③整理，得x-2=k（x-3）．⑥
由④、⑥消去k得x-2=y-1，這就是點Q所在的直線方程．
∴點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．
解法2：設(shè)點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴

AP

PB

=-

AQ

QB

，即

3-x1

x2-3

=-

x-x1

x2-x

，
即[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．
以下同解法1．
解法3：設(shè)點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題設(shè)知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記
PBAQxyλ=

|AP|

|PB|

=

|AQ|

|QB|

．
∵過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支
相交于兩點A，B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四點共線，
∴

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

．
即

(3-x1，1-y1)=-λ(x2-3，y2-1) (x-x1，y-y1)=λ(x2-x，y2-y).

∴

3= x1-λx2 1-λ x= x1+λx2 1+λ

③
由③消去λ，得[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．
以下同解法1．
解法4：設(shè)點Q，A，B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題設(shè)知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不為零，記λ=

|AP|

|AQ|

=

|PB|

|QB|

．
∵過點P的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于兩點A、B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四點共線，
設(shè)

PA

=λ1

AQ

，

PB

=λ2

BQ

，則λ₁+λ₂=0．
即

(x1-3，y1-1)=λ1(x-x1，y-y1) (x2-3，y2-1)=λ2(x-x2，y-y2).

∴

x1= 3+λ1x 1+λ1 y1= 1+λ1y 1+λ1 .

x2= 3+λ2x 1+λ2 y2= 1+λ2y 1+λ2 .

∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線C上，
∴(

3+λix

1+λi

)2-3(

1+λiy

1+λi

)2=3，其中i=1，2．
∴λ₁，λ₂是方程(

3+λx

1+λ

)2-3(

1+λy

1+λ

)2=3的兩個根．
即λ₁，λ₂是方程（x²-3y²-3）λ²+6（x-y-1）λ+3=0的兩個根．
∵λ₁+λ₂=0，且x²-3y²-3≠0，
∴λ1+λ2=-

6(x-y-1)

x2-3y2-3

=0，即x-y-1=0．
∴點Q（x，y）總在定直線x-y-1=0上．

點評：本小題主要考查雙曲線、解方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力