Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間[m，n]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)；②f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇2m，2n]，則稱區(qū)間[m，n]為y=f（x）的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有    （填上所有正確的序號）
①f（x）=x²（x≥0）；②f（x）=e^x（x∈R）；③f（x）=；④f（x）=．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則：①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②，或，對四個(gè)函數(shù)分別研究，從而確定是否存在“倍值區(qū)間”．
解答：解：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則：①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②，或．
①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區(qū)間”[a，b]，
則，∴，∴，
∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區(qū)間”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值區(qū)間”[a，b]，
則，∴，
構(gòu)建函數(shù)g（x）=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，
∴函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)減，在（0，+∞）上單調(diào)增，
∴函數(shù)在x=0處取得極小值，且為最小值．
∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴e^x-x=0無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；
③f（x）=（x≥0），f′（x）==，
若存在“倍值區(qū)間”[a，b]⊆[0，1]，
則，∴，∴a=0，b=1，若存在“倍值區(qū)間”[0，1]；
④f（x）=loga（ax-）（a＞0，a≠1）．不妨設(shè)a＞1，則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)
若存在“倍值區(qū)間”[m，n]，
則，
，
∴，
∴2m，2n是方程loga（ax-）=2x的兩個(gè)根，
∴2m，2n是方程a2x-ax+=0的兩個(gè)根，
由于該方程有兩個(gè)不等的正根，故存在“倍值區(qū)間”[m，n]；
綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，涉及知識點(diǎn)較多，需要謹(jǐn)慎計(jì)算．