Question

設(shè)函數(shù)，常數(shù)λ＞0．
（1）若λ=1，判斷f（x）在區(qū)間[1，4]上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，4]上的單調(diào)遞增，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=x+，?x₁，x₂∈[1，4]且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+）-（x₂+）=（x₁-x₂）…
∵x₁，x₂∈[1，4]，x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在區(qū)間[1，4]上的單調(diào)遞增．…
（2）?x₁，x₂∈[1，4]且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+）-（x₂+）=（x₁-x₂）…
∵f（x）在區(qū)間[1，4]上的單調(diào)遞增
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∵1≤x₁＜x₂≤4，
∴x₁x₂-λ＞0對?x₁，x₂∈[1，4]且x₁＜x₂恒成立…
即λ＜x₁x₂
∴λ≤1
∵λ＞0
∴0＜λ≤1…
分析：（1）在區(qū)間[1，4]上任取兩個值x₁，x₂∈[1，4]且x₁＜x₂，然后通過化簡判定f（x₁）-f（x₂）的符號，最后根據(jù)單調(diào)性的定義進行判定即可；
（2）在區(qū)間[1，4]上任取兩個值x₁，x₂∈[1，4]且x₁＜x₂，然后根據(jù)單調(diào)性得到f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立，從而可求出所求．
點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定，以及函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，同時考查了計算能力，屬于中檔題．