Question

如圖，P-ABCD是正四棱錐，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，其中AB=2，PA=

6

．平面PAD與平面BDD₁B₁所成的銳二面角θ的余弦值為（　　）

• A、

  10

  10

• B、

  5

  5

• C、

  15

  5

• D、

  10

  5

Answer 1

分析：由題設(shè)條件以及圖形知平面PAD與平面BDD₁B₁的公共邊為PD，平面PAD與平面BDD₁B₁所成的銳二面角即二面角A-PD-B，由圖形的結(jié)構(gòu)，兩平面所成的二面角的余弦值可用三角形PAD的面積與其在面PBD上的投影面積之間的比值來(lái)表示，連接AC，BD交于一點(diǎn)O，可證得A0⊥面PBD，即三角形PAD在面PBD上的投影是三角形POD，求出兩個(gè)三角形的面積計(jì)算其比值即可得到所求二面角的余弦值．

解答：解：由題意如圖，平面PAD與平面BDD₁B₁的公共邊為PD，平面PAD與平面BDD₁B₁所成的銳二面角即二面角A-PD-B，連接AC，BD交于一點(diǎn)O，由于P-ABCD是正四棱錐，故有AO⊥面PBD，
∴cosθ=

S△pOD

S△PAD

∵P-ABCD是正四棱錐，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，其中AB=2，PA=

6

．
∴BD=2

2

，故PO=

PD2-OD2

=

6-2

=2可求得三角形POD的面積是

1

2

×2×

2

=

2

在三角形PAD中可求得其面積是

5

故cosθ=

S△pOD

S△PAD

=

2

5

=

10

5

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角及求法，由于本題中幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，采取了用投影面法求面面角的余弦，可以看到此法優(yōu)點(diǎn)是不用作二面角的平面角，少了證明的過(guò)程，在求二面角時(shí)注意使用這一方法，其公式是銳二面角的余弦值等于投影面的面積比上原面積．本題考查了轉(zhuǎn)化變形的能力以及推理運(yùn)算的能力．