Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在PC，BD上，

CE

CP

=

BF

BD

=

1

3

，側(cè)面PAD⊥底面AB-CD，且PA=PD=

2

，AD=2．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)CF，并延長，使其與DA的延長線交于點Q，連結(jié)PQ，由已知得EF∥PQ，由此能證明EF∥平面PAD．
（2）由已知得CD⊥平面PAD，從而CD⊥PA，進(jìn)而△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，由此能證明平面PAB⊥平面PCD．

解答： 證明：（1）如圖，連結(jié)CF，并延長，使其與DA的延長線交于點Q，連結(jié)PQ，
∵在正方形ABCD中，BC∥DA，∴BC∥DQ，
∴

BE

BD

=

CF

CQ

=

1

3

，又

CE

CP

=

1

3

，∴

CE

CP

=

CF

CQ

，
在△CPQ中，EF∥PQ，
又∵PQ?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，
又∵在正方形ABCD中有CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA，∵PA=PD=

2

，AD=2，
∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，
又∵CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，
又∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．

點評：本題考查線面垂直的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要注意空間中線線、線面、面面間位置關(guān)系的合理運(yùn)用．