【題目】如圖,直三棱柱中,,是中點(diǎn).
證明:平面;
線段上是否存在點(diǎn),使三棱錐的體積為?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)為的中點(diǎn).
【解析】
連接,與 交于點(diǎn)O,連接OD,,由三角形中位線定理可得,再由線面平行的判定可得平面;
連接,假設(shè)線段上存在點(diǎn)N,使得三棱錐 的體積為,設(shè)N到平面 的距離為h,由三棱錐的體積為求得h,進(jìn)一步求得
N為 的中點(diǎn)得結(jié)論.
證明:如圖,連接,與 交于點(diǎn)O,連接OD,,
在中,O和D分別是和CB的中點(diǎn),則,
又平面,
平面;
解:連接,假設(shè)線段上存在點(diǎn)N,使得三棱錐的體積為,
設(shè)N到平面 的距離為h,
由題意可知,為等邊三角形,
又D為BC的中點(diǎn),.
又三棱柱為直三棱柱,,
故AD平面,
為直角三角形,,,
的面積為,由三棱錐的體積公式可知,,
.
又平面,平面平面,
故點(diǎn)N到平面 的距離與點(diǎn)N到直線的距離相等,
又為等腰直角三角形,點(diǎn)C到直線的距離為.
又點(diǎn)B與點(diǎn)C到到平面的距離相等,故點(diǎn)B到直線的距離也為,
當(dāng)N為的中點(diǎn)時,點(diǎn)N到平面的距離為,三棱錐的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為,.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)在第二象限.與延長線交于點(diǎn),若的面積是面積的3倍,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,且經(jīng)過點(diǎn).
求橢圓的方程;
過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,過右焦點(diǎn)的直線分別交橢圓于點(diǎn),設(shè), ,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是曲線上的點(diǎn),是數(shù)列前項(xiàng)和,且滿足
(1)若時,求的值;
(2)證明:數(shù)列是常數(shù)列;
(3)確定的取值集合M,使時,數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓過定點(diǎn),且與定直線相切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)的任一條直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn),試探究在軸上是否存在定點(diǎn)(異于點(diǎn)),使得?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確命題的個數(shù)是( )
①命題“函數(shù)的最小值不為”是假命題;
②“”是“”的必要不充分條件;③若為假命題,則, 均為假命題;
④若命題: , ,則: , ;
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著,其中的“更相減損術(shù)”可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù),即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之.”翻譯成現(xiàn)代語言如下:第一步,任意給定兩個正整數(shù),判斷它們是否都是偶數(shù),若是,用2約簡;若不是,執(zhí)行第二步:第二步,以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù),繼續(xù)這個操作,知道所得的數(shù)相等為止,則這個數(shù)(等數(shù))或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).現(xiàn)給出更相減損術(shù)的程序圖如圖所示,如果輸入的,,則輸出的為( ).
A. 3B. 6C. 7D. 8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù),實(shí)數(shù)),曲線(為參數(shù),實(shí)數(shù)).在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與交于,兩點(diǎn),與交于,兩點(diǎn).當(dāng)時,;當(dāng),.
(1)求和的值.
(2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的短軸長為,離心率為,過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),.線段的垂直平分線交軸于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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