【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限.與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若的面積是面積的3倍，求的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根據(jù)離心率和弦長(zhǎng)列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用的面積與面積的關(guān)系得到，利用向量結(jié)合平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系.分別聯(lián)立直線的方程與直線、直線的方程與橢圓的方程，根據(jù)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系列方程，解方程求得的值.

（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得∴，，

所以，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，由題意，且

由的面積是面積的3倍，可得，所以

，從而，所以

，即.

易知直線的方程為，由消去，可得

由方程組消去，可得.

由，可得，

整理得，解得，或.

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.

所以，的值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，四棱錐的體積，是的中點(diǎn).

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（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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(1)求線段EF的中點(diǎn)G的軌跡C的方程；

(2)設(shè)軌跡C與軸交于兩點(diǎn),P是軌跡C上異于的任意一點(diǎn),直線交直線于M點(diǎn),直線交直線于N點(diǎn),求證:以MN為直徑的圓C總過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】已知分別是雙曲線E： 的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)， 到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍，（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）當(dāng)時(shí)， 的面積為，求此雙曲線的方程。

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為別為F1、F2，且過點(diǎn)和．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，點(diǎn)A為橢圓上一位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，AF2的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值，并寫出取到最大值時(shí)直線BC的方程．

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【題目】 已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）已知函數(shù)區(qū)間上的最小值為1，求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】已知：曲線表示雙曲線；：曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.

（1）分別求出條件中的實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）甲同學(xué)認(rèn)為“是的充分條件”，乙同學(xué)認(rèn)為“是的必要條件”，請(qǐng)判斷兩位同學(xué)的說法是否正確，并說明理由.

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【題目】如圖，直三棱柱中，，是中點(diǎn)．

證明：平面；

線段上是否存在點(diǎn)，使三棱錐的體積為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

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