Question

在直角坐標(biāo)系中，角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點(diǎn)O為圓心）交于A、B兩點(diǎn)，函數(shù)，若對(duì)x∈R恒成立．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸與單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合對(duì)x∈R恒成立，確定函數(shù)的解析式；
（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸與單調(diào)遞減區(qū)間．
解答：解：（1）∵角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點(diǎn)O為圓心）交于A、B兩點(diǎn)，
∴=（cosφ，sinφ），=（cos2x，sin2x）
∴=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵對(duì)x∈R恒成立，
∴=1，即cos（2×-φ）=1
∴
∴φ=，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kx+）]=cos（2x-），
即函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=cos（2x-）
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-），
令2x-=kπ，k∈Z，得x=，k∈Z，
∴f（x）的對(duì)稱軸為x=，k∈Z，
∵2kπ，k∈Z，
kπ，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[]，k∈Z，
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．