【題目】已知函數(shù) (p,q為常數(shù))是定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù),且
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷并用定義證明f(x)在(﹣1,1)上的單調性;
(3)解關于x的不等式f(2x﹣1)+f(x)<0.

【答案】
(1)解:依題意, ,解得p=1,q=0,所以
(2)解:函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上單調遞增,證明如下:

任取﹣1<x1<x2<1,則x1﹣x2<0,﹣1<x1x2<1,

從而f(x1)﹣f(x2)= = = <0,

所以f(x1)<f(x2),

所以函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上單調遞增.


(3)解:原不等式可化為:f(2x﹣1)<﹣f(x),即f(2x﹣1)<f(﹣x),

由(2)可得,函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上單調遞增,所以

解得 ,即原不等式解集為


【解析】(1)依題意, ,解得p=1,q=0,可得函數(shù)的解析式.(2)利用函數(shù)的單調性的定義證明函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上單調遞增.(3)原不等式可化為f(2x﹣1)<f(﹣x),根據函數(shù)f(x)在定義域(﹣1,1)上單調遞增,可得 ,由此求得x的范圍.
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)單調性的判斷方法和函數(shù)單調性的性質,需要了解單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較;函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)解關于x的不等式f(2x﹣1)<﹣f(x).

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