Question

【題目】設(shè)，，以表示不是的因數(shù)的最小自然數(shù)，例如.若，又可作等等.如果，那么叫做的長(zhǎng)度.對(duì)一切，，用列舉法表示的長(zhǎng)度構(gòu)成的集合是______.

Answer 1

【答案】

【解析】

記的長(zhǎng)度為L(zhǎng)n.

很明顯，若奇數(shù)n≥3，那么f(n)＝2，因此只須討論n為偶數(shù)的情況，

我們首先證明，對(duì)任何n≥3，f(n)＝ps，這里P是素?cái)?shù)，s為正整數(shù)．

假若不然，若f(n)有兩個(gè)不同的素因子，這時(shí)總可以將f(n)表為f(n)＝ab，其中a、b是大于1的互素的正整數(shù)．

由f的定義知，a與b都應(yīng)能整除n，因(a，b)＝1，故ab也應(yīng)整除n，這與f(n)＝ab矛盾．

所以f(n)＝ps．

由此可以得出以下結(jié)論：

(1)當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，f(n)＝2，故Ln＝1；

(2)設(shè)n為大于2的偶數(shù)，如果f(n)＝奇數(shù)，那么f(f(n))＝2，這時(shí)Ln＝2；

如果f(n)＝2s，其中自然數(shù)s≥2，那么f(f(n))＝f(2s)＝3，從而f(f(f(n)))＝f(3)＝2，這時(shí)Ln＝3．

綜上可得，用列舉法表示的長(zhǎng)度構(gòu)成的集合是.