已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“垂直對點(diǎn)集”.給出下列二個集合:
①M(fèi)={(x,y)|y=
1
x
};②M={(x,y)|y=sinx+1};則以下選項(xiàng)正確的是(  )
A、①是“垂直對點(diǎn)集”,②不是“垂直對點(diǎn)集”
B、①不是“垂直對點(diǎn)集”,②是“垂直對點(diǎn)集”
C、①②都是“垂直對點(diǎn)集”
D、①②都不是“垂直對點(diǎn)集”
分析:根據(jù)題中定義直接驗(yàn)證即可.
解答:解:對于①,任取兩點(diǎn)(x1,y1)(x2,y2)∈M,有x1x2+y1y2=x1x2+
1
x1x2
,
若x1x2>0,則上式≥2;若x1x2<0,則上式≤-2.
∴x1x2+y1y2≠0,因此①不是“垂直對點(diǎn)集”;
對于②,設(shè)P(x1,y1)是y=sinx+1任意一點(diǎn),則OP的斜率k=
y1
x1
,
∴過原點(diǎn)O與OP垂直的直線為y=-
y1
x1
x
,與y=sinx+1必有交點(diǎn).因此②是“垂直對點(diǎn)集”.
故選:B.
點(diǎn)評:本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用,考查了元素與集合的關(guān)系,考查了數(shù)形結(jié)合的思想,解答的關(guān)鍵是對新定義的理解.
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1、已知集合M={0,x},N={1,2},若M∩N={2},則M∪N為(  )

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(2013•南充三模)已知集合M={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y),x,y∈R},有下列命題
①若f1(x)=
1,x≥0
-1,x<0
則f1(x)∈M;
②若f2(x)=2x,則f2(x)∈M;
③若f3(x)∈M,則y=f3(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;
④若f4(x)∈M則對于任意不等的實(shí)數(shù)x1,x2,總有
f4(x1)-f4(x2)
x1-x2
<0成立.
其中所有正確命題的序號是
②③
②③

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已知集合M={f(x)|在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立}.
(1)函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M?說明理由.
(2)證明:函數(shù)f(x)=2x+x2∈M.
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
2x+1
∈M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(2012•武昌區(qū)模擬)已知集合M={y|y=x+
1
x-1
,x∈R,x≠1},集合N={x|
x
2
 
-2x-3≤0}
,則( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•上海模擬)已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},g(x)=sin
πx3

(1)判斷g(x)與M的關(guān)系,并說明理由;
(2)M中的元素是否都是周期函數(shù),證明你的結(jié)論;
(3)M中的元素是否都是奇函數(shù),證明你的結(jié)論.

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