Question

2．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，${a_{n+1}}=-\frac{1}{{{a_n}+1}}$，記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則S₂₀₁₅=-1006．

Answer 1

分析 a₁=1，${a_{n+1}}=-\frac{1}{{{a_n}+1}}$，可得a₂=-$\frac{1}{2}$，a₃=-2，a₄=1，…，a_n+3=a_n．利用周期性即可得出．

解答 解：∵a₁=1，${a_{n+1}}=-\frac{1}{{{a_n}+1}}$，
∴${a}_{2}=-\frac{1}{{a}_{1}+1}$=-$\frac{1}{2}$，a₃=-2，a₄=1，…，
∴a_n+3=a_n．
∴a₁+a₂+a₃=-$\frac{3}{2}$．
S₂₀₁₅=671（a₁+a₂+a₃）+a₁+a₂=-$\frac{3}{2}$×671+$\frac{1}{2}$=-1006．
故答案為：-1006．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．