四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為AD的中點,ABCE為菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G、F分別是線段CE、PB的中點.
(Ⅰ) 求證:FG∥平面PDC;
(Ⅱ) 求二面角的正切值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)二面角的正切值為.
解析試題分析:(Ⅰ)連結(jié)BD,因為E是AD的中點是CE的中點,所以BD過點,這樣只需證即可;(Ⅱ)求二面角的正切值,需找出平面角,注意到PA⊥平面ABCD,F(xiàn)是線段PB的中點,取的中點,則⊥平面ABCD,過作,垂足為,則即為二面角的平面角.
試題解析:(Ⅰ)證明:連結(jié),因為E是AD的中點,是CE的中點,且ABCE為菱形,,,所以過點,且是的中點,在中,又因為是的中點,,又平面,平面 ;
(Ⅱ)取的中點,因為是的中點,,又因為平面,平面,過作,垂足為,連結(jié),則即為二面角的平面角,
不妨令,則,有平面幾何知識可知,,所以二面角的正切值為 .
考點:1、線面平行的判定,2、二面角的求法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐A-BCD中,平行于BC的平面MNPQ分別交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四點,且MN=PQ.
(1)求證:四邊形為平行四邊形;
(2)試在直線AC上找一點F,使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在四棱錐中,側(cè)面底面,,為中點,底面是直角梯形,,,,.
(1)求證:面;
(2)求證:面面;
(3)設(shè)為棱上一點,,試確定的值使得二面角為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱柱中,平面.
(Ⅰ)從下列①②③三個條件中選擇一個做為的充分條件,并給予證明;
①,②;③是平行四邊形.
(Ⅱ)設(shè)四棱柱的所有棱長都為1,且為銳角,求平面與平面所成銳二面角的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,邊長為a的正方形ABCD中,點E、F分別在AB、BC上,且,將△AED、△CFD分別沿DE、DF折起,使A、C兩點重合于點,連結(jié)A¢B.
(Ⅰ)判斷直線EF與A¢D的位置關(guān)系,并說明理由;
(Ⅱ)求二面角F-A¢B-D的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如左圖,四邊形中,是的中點,,,,,將左圖沿直線折起,使得二面角為,如右圖.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的余弦值.
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