Question

已知函數(shù)f（x）=2^ax+2（a為常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若a＞0，時證明f（x）在R是增函數(shù)；
（3）當a=1時，求函數(shù)y=f（x），x∈（-1，3]的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）定義域是使函數(shù)表達式有意義的x的取值集合；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）由第一問a＞0時f（x）在R是增函數(shù)；故當a=1時，函數(shù)y=f（x），x∈（-1，3]時遞增，所以f（-1）＜f（x）≤f（3）．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2^ax+2對任意實數(shù)都有意義，所以定義域為R      
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
由a＞0得ax₁+2＜ax₂+2
因為y=2^x在R上是增函數(shù)，
所以有2^ax₁+2＜2^ax₂+2，
即f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)                                 
（3）由（2）知當a=1時，f（x）=2^x+2在（-1，3]上是增函數(shù)
所以f（-1）＜f（x）≤f（3）
即2＜f（x）≤32
所以函數(shù)f（x）的值域為（2，32]

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于基礎題．