Question

7．已知$cos（{α+β}）=\frac{2}{3}，cos（{α-β}）=\frac{1}{3}$，則tanα•tanβ=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡已知兩等式，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，即可求出tanα•tanβ的值．

解答 解：∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2}{3}$，
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{cos（α+β）}{cos（α-β）}$=$\frac{cosαcosβ-sinαsinβ}{cosαcosβ+sinαsinβ}$=$\frac{1-tanαtanβ}{1+tanαtanβ}$=2，
即1-tanαtanβ=2+2tanαtanβ，
整理得：tanαtanβ=-$\frac{1}{3}$．
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點評 此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．