Question

6．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₂=6，a₃+a₄=72．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-n（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${S}_{{n}_{\;}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)條件即可求出公比，問題得以解決，
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₂=6，a₃+a₄=72，
∴6q+6q²=72，
即q²+q-12=0，
解得q=3或q=-4，
∵a_n＞0，
∴q＞0，
∴q=3，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2×3^n-1（n∈N*）；
（Ⅱ）∵b_n=2×3^n-1-n，
∴S_n=2（1+3²+3³+…+3^n-1-（1+2+3+…+n）=2×$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=3ⁿ-1-$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列和等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題