Question

18．已知偶函數(shù)f（x）的導數(shù)為f′（x）（x∈R），且在[0，+∞）上滿足f′（x）＜x³，若f（m-3）-f（m）≥$\frac{1}{4}$[（m-3）⁴-m⁴]，則實數(shù)m的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 構造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}{x}^{4}$，由題意可得g（x）是偶函數(shù)，求導判斷g（x）的單調性，把f（m-3）-f（m）≥$\frac{1}{4}$[（m-3）⁴-m⁴]轉化為g（m-3）≥g（m），利用單調性轉化為關于m的不等式求解．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}{x}^{4}$，
∵g（-x）-g（x）=f（-x）-$\frac{1}{4}（-x）^{4}$-f（x）-$\frac{1}{4}{x}^{4}$=0，
∴函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
∵x∈[0，+∞）時，g′（x）=f′（x）-x³＜0，
∴函數(shù)g（x）在x∈[0，+∞）為減函數(shù)，
f（m-3）-f（m）≥$\frac{1}{4}$[（m-3）⁴-m⁴]，即f（m-3）-$\frac{1}{4}（m-3）^{4}$≥f（m）-$\frac{1}{4}{m}^{4}$，
也即g（m-3）≥g（m），
∴g（|m-3|）≥g（|m|），
則|m-3|≤|m|，解得：m$≥\frac{3}{2}$．
∴實數(shù)m的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查數(shù)學轉化思想方法，正確構造函數(shù)是關鍵，是中檔題．