Question

數(shù)列{a_n}和{b_n}的各項均為正數(shù)，且對于任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+（a₂₀₁₃-a₂₀₁₂）²，b_n=a_n+1．
（1）求

a2011+a2013

a2012

及

a2012+a2014

a2013

的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a₂-a₁的值．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由條件可令n=2011，令n=2012，代入化簡即可得到所求值，均為2；
（2）由（1）可得a₂₀₁₃-a₂₀₁₂=a₂₀₁₂-a₂₀₁₁=a₂₀₁₄-a₂₀₁₃，再令n=2010，n=2013，推得a₂₀₁₀，a₂₀₁₁，a₂₀₁₂，
a₂₀₁₃，a₂₀₁₄，a₂₀₁₅成等差數(shù)列，依此類推，即可得證；
（3）若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則b₂²=b₁b₃，即（a₂+1）²=（a₁+1）（a₃+1），設(shè){a_n}的公差為d，由通項公式代入即可得到所求值．

解答： （1）解：由于對于任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+（a₂₀₁₃-a₂₀₁₂）²，
令n=2011，則a₂₀₁₂²=a₂₀₁₁a₂₀₁₃+a₂₀₁₃²+a₂₀₁₂²-2a₂₀₁₃a₂₀₁₂，
化簡得，

a2011+a2013

a2012

=2，
令n=2012，則a₂₀₁₃²=a₂₀₁₂a₂₀₁₄+a₂₀₁₃²+a₂₀₁₂²-2a₂₀₁₃a₂₀₁₂，
化簡得，

a2012+a2014

a2013

=2；
（2）證明：由（1）可知a₂₀₁₃-a₂₀₁₂=a₂₀₁₂-a₂₀₁₁=a₂₀₁₄-a₂₀₁₃，
可令n=2010，則得a₂₀₁₀+a₂₀₁₂=2a₂₀₁₁，即a₂₀₁₀，a₂₀₁₁，a₂₀₁₂成等差數(shù)列，
可令n=2013，則得a₂₀₁₃，a₂₀₁₄，a₂₀₁₅成等差數(shù)列，
…，
同理可推得a₂-a₁=a₃-a₂=a₄-a₃=…
=a₂₀₁₃-a₂₀₁₂=a₂₀₁₂-a₂₀₁₁=a₂₀₁₄-a₂₀₁₃=…=a_n+1-a_n．
由等差數(shù)列的定義，可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）解：若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
則b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+1，
且有b₂²=b₁b₃，則（a₂+1）²=（a₁+1）（a₃+1），
設(shè){a_n}的公差為d，則a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d．
則（a₁+d+1）²=（a₁+1）（a₁+2d+1），
化簡整理得，d=0，
故a₂-a₁的值為0．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和性質(zhì)，考查運用定義證明等差數(shù)列，考查運算和推理能力，屬于中檔題．