Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

．
（1）數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？
（2）證明：a_n≥

1

2

對一切正整數(shù)恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）作差判斷a_n+1-a_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2(n+1)

，符號即可得出單調(diào)性，
（2）根據(jù)單調(diào)性得出a_n≥a₁=

1

2

．即可證明．

解答： 解：（1）∵a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

，
∴a_n+1=

1

(n+1)+1

+

1

(n+1)+2

+

1

(n+1)+3

+…+

1

2(n+1)

=

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴a_n+1-a_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2(n+1)

，
又n∈N₊，∴2n+1＜2（n+1），∴a_n+1-a_n＞0，
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列．                                      
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的最小項是a₁=

1

2

，
所以即a_n≥

1

2

 對一切正整數(shù)恒成立．

點評：本題考查了數(shù)列的性質(zhì)，運用函數(shù)求解問題，難度不大，屬于中檔題，關(guān)鍵是確定解題方法即可．