Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，若頂點到漸近線的距離為$\sqrt{3}$，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{{3{y^2}}}{4}$=1
• B． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}$=1
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}$=1
• D． $\frac{{3{x^2}}}{4}-\frac{y^2}{4}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的方程由點到直線的距離公式可得頂點到漸近線的距離為$\frac{a}{2}=\sqrt{3}$，解可得a的值，即可得b的值，代入雙曲線的方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線漸近線方程為y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，變形可得$x±\sqrt{3}y=0$，
頂點坐標(biāo)（a，0），頂點到漸近線的距離為$\frac{a}{2}=\sqrt{3}$，
解得$a=2\sqrt{3}$，
根據(jù)漸近線方程的斜率$\frac{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，可得b=2，
所以雙曲線的方程為$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$；
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線方程的關(guān)系．