Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃=$\frac{4}{3}$，a₁a₄=$\frac{1}{3}$，公比q＜1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式與前n項和；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{2-lo{g}_{3}{a}_{n}}$，數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項和為T_n，若對于任意的正整數(shù)，都有T_n＜m²-m+$\frac{3}{4}$成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的性質(zhì)，a₂a₃=a₁a₄=$\frac{1}{3}$，a₂+a₃=$\frac{4}{3}$，根據(jù)公比q＜1，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，分別求得a₁和q，求得等比數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）可知求得數(shù)列{b_nb_n+2}的通項公式，利用“裂項法“即可求得數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項和為T_n的最大值，將T_n＜m²-m+$\frac{3}{4}$轉(zhuǎn)化成$\frac{3}{4}$≤m²-m+$\frac{3}{4}$，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）由題設(shè)知，a₂a₃=a₁a₄=$\frac{1}{3}$，
∵a₂+a₃=$\frac{4}{3}$，q＜1，
解得：a₂=1，a₃=$\frac{1}{3}$，
q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴a₁=3，
故a_n=3×（$\frac{1}{3}$）^n-1=3^2-n，
∴數(shù)列{a_n}前n項和S_n=$\frac{3-{3}^{2-n}×\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-2}}$．（6分）
（2）∵b_n=$\frac{1}{2-lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{1}{2-（2-n）}$=$\frac{1}{n}$，
∴b_nb_n+2=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅+…+b_nb_n+2，
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$
故要使T_n＜m²-m+$\frac{3}{4}$恒成立，只需$\frac{3}{4}$≤m²-m+$\frac{3}{4}$，
解得m≤0或m≥1．（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列通項公式及前n項和公式，考查等比數(shù)列的通項公式的運用，考查“裂項法“求數(shù)列前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．