Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE？若存在，請加以證明，并求此時二面角A-DE-B的大��；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，結(jié)合正方形的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，我們可得AC⊥BD，PD⊥AC，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；
（2）分別以DA，DC，DP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

BE

=λ

EP

，根據(jù)PC⊥平面ADE，我們根據(jù)直線PC的方向向量與平面ADE法向量垂直，數(shù)量積為0，可以構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程，進(jìn)而得到E點(diǎn)的位置，求出滿足條件的平面ADE與平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出此時二面角A-DE-B的大�。�

解答：解：（1）證明：∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC
又∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）分別以DA，DC，DP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PD=AD=1
∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
假設(shè)在線段PB上存在一點(diǎn)E使得PC⊥平面ADE
設(shè)

BE

=λ

EP

則E（

1

1+λ

，

1

1+λ

，

λ

1+λ

）
又∵

PC

=（0，1，-1），且

PC

⊥

AE

∴

PC

•

AE

=0，
解得：λ=1，此進(jìn)E為PD的中點(diǎn)，
又∵PC⊥AD
∴當(dāng)點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)時，PC⊥平面ADE
∵此時平面ADE的法向量為

PC

=（0，1，-1），
由（I）知平面BDE的法向量為

AC

=（-1，1，0）
則cos＜

PC

，

AC

＞=

PC • AC

| PC |•| AC |

=

1

2

∴＜

PC

，

AC

＞=60°
故此時二面角的大小為60°

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定定理，（2）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間中直線與平面的垂直關(guān)系及二面角問題，轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．