Question

已知向量

OP

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），

OQ

=（cosx，-1），f（x）=

OP

•

OQ

（1）求函數(shù)f（x）最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）=

2

sin（x+

π

4

），從而得到它的最小正周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

OP

•

OQ

=cosx（2cosx+1）-（cos2x-sinx+1）=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1
=cosx+sinx=

2

sin（x+

π

4

），
∴函數(shù)f（x）最小正周期為

2π

1

=2π．
（2）又x∈[0，

π

2

]，所以x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，函數(shù)f（x）=

2

sin（x+

π

4

）在[

π

4

，

π

2

]上單調(diào)遞增，在[

π

2

，

3π

4

]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=

π

4

時(shí)，f（x）取得最大值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．