Question

求a的取值范圍，使得關(guān)于x的方程x²+2（a-1）x+2a+6=0．
（1）有兩個(gè)都大于1的實(shí)數(shù)根；
（2）至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=x²+2（a-1）x+2a+6，根據(jù)原方程的兩根都大于1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍．
（2）分①若方程有一正一負(fù)根、②若方程有兩正根、③若方程有一正根和一個(gè)0根三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=x²+2（a-1）x+2a+6，若原方程的兩根都大于1，
則有

f(1)＞0 4(a-1)2-4(2a+6)≥0 1-a＞1

⇒

1+2(a-1)+2a+6＞0 a2-4a-5≥0 a＜0

，化簡(jiǎn)得 

a＞- 5 4 a≤-1或a≥5 a＜1

，∴-

5

4

＜a≤-1．
（2）分三種情況：①若方程有一正一負(fù)根，需2a+6＜0，求得a＜-3．
②若方程有兩正根，需

f(0)＞0 4(a-1)2-4(2a+6)≥0 1-a＞0

⇒

2a+6＞0 a2-4a-5≥0 a＜1

，∴-3＜a≤-1．
③若方程有一正根和一個(gè)0根，需2a+6=0，a=-3，此時(shí)有正根x=8．
綜上所述，a的范圍是{a|a＜-3，或-3＜a≤-1，或a=-3}，
即{a|a≤-1}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．