Question

7．已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，±3），且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4），求這個雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由題意可得c=3，再由雙曲線的定義和兩點(diǎn)的距離公式，可得a，由a，b，c的關(guān)系可得b，即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由題意可得c=3，
由雙曲線的定義可得2a=|$\sqrt{15+（4-3）^{2}}$-$\sqrt{15+（4+3）^{2}}$|=|4-8|=4，
解得a=2，
則b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$．
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意運(yùn)用雙曲線的定義和基本量的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．