(12分) 如圖7-4，已知△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD繞CD旋轉(zhuǎn)至A′CD，使點(diǎn)A′與點(diǎn)B之間的距離A′B=。

 

 

（1）求證：BA′⊥平面A′CD；

（2）求二面角A′－CD－B的大��；

（3）求異面直線A′C與BD所成的角的余弦值。

 

【答案】

解  （1）∵CD⊥AB，

∴CD⊥A′D，CD⊥DB，

∴CD⊥平面A′BD，

∴CD⊥BA′。

又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，

∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，

∴BA′⊥平面A′CD。

（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，

∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角。

又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，

∴∠A′DB=60°，

即  二面角A′—CD—B為60°。

（3）過A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，連CE，則∠CA′E為A′C與BD所成角。

∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE。

∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，

又A′D=1，∠DEA′=90°，

∴A′E=

又∵在Rt△ACB中，AC==

∴A′C=AC=

∴Rt△CEA′中，cos∠CA′E===,

即異面直線A′C與BD所成角的余弦值為。

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=600，AC=7，AD=6，S△ADC=，

求AB的長.

 

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如圖所示，正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長均為，為中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

 

 

 

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（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．

如圖，在直三棱柱中，，，．

（1）求三棱柱的表面積；

（2）求異面直線與所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

 

 

 

 

 

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（本小題滿分12分）

如圖所示莖葉圖是青年歌手電視大獎賽中7位評委給參加最后決賽的兩位選手甲、乙評定的成績，程序框圖用來編寫程序統(tǒng)計(jì)每位選手的成績（各評委所給有效分?jǐn)?shù)的平均值），試根據(jù)下面條件回答下列問題：

1）根據(jù)莖葉圖，乙選手的成績中，中位數(shù)是         ，眾數(shù)是      。

2）在程序框圖中，用k表示評委人數(shù)，用a表示選手的最后成績（各評委所給有效分?jǐn)?shù)的平均值）那么圖中①②處分別為   ，      �！�S1=S-max-min”的含義  

  ”  。

3） 根據(jù)程序框圖，甲的最后成績是       ；乙的最后成績是         。

 

 

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如圖7所示，在邊長為12的正方形中，，且AB=3，BC=4，分別交BB1，CC1于點(diǎn)P、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得與AA1重合，構(gòu)成如圖5所示的三棱柱ABC—A1B1C1，請?jiān)趫D5中解決下列問題：

   （1）求證：；

   （2）在底邊AC上有一點(diǎn)M，滿足AM：MC=3：4，求證：BM//平面APQ。

   （3）求直線BC與平面APQ所成角的正弦值。

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