Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx（a≠0）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程為6x+y+4=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由切線方程求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即有f（1）=-10，f′（1）=-6，解方程即可得到a，b；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，列表得到f（x）和導(dǎo)數(shù)f′（x）的關(guān)系，則可得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出極小值和f（-1）及f（3）的值，比較即可得到最值．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)M處的切線方程為6x+y+4=0，
知f（1）=-10，
函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=3ax²+b，
故有

f(1)=a+b=-10 f′(1)=3a+b=-6

，
得：

a=2 b=-12

；
（2）由于f（x）=2x³-12x．　f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，
列表如下：

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大	減函數(shù)	極小	增函數(shù)

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，
由f（-1）=10，f(

2

)=-8

2

，f（3）=18，
則f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(

2

)=-8

2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間及極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．