Question

3．如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，AC=BC．O為AB的中點(diǎn)，OF⊥BC．
（1）求證：OE⊥FC；
（2）設(shè)AF=1，AC=$\sqrt{3}$，求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，推導(dǎo)出OC⊥AB，OC⊥OF，從而OF⊥OE，又OC⊥OE，故OE⊥平面OFC，由此能證明OE⊥FC．
（2）取EF的中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB，OD所在在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角F-CE-B的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)OC，因AC=BC，O是AB的中點(diǎn)，故OC⊥AB，
又因平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABEF，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，所以O(shè)F⊥平面OEC，所以O(shè)F⊥OE，
又因?yàn)镺C⊥OE，故OE⊥平面OFC，
所以O(shè)E⊥FC．（6分）
解：（2）由（1），得AB=2AF，因AF=1，所以AB=2，
取EF的中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB，OD所在在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則F（0，-1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），
從而$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{2}$，1，1），$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，0），
設(shè)平面FCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}=-\sqrt{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=-2y=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{2}$），
同理可求得平面CEB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，
由于二面角F-CE-B為鈍二面角，則二面角F-CE-B的余弦值為-$\frac{1}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查二面角F-CE-B的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．