Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經過點$P（{1，\frac{3}{2}}）$，離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）不過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若AB的中點M在拋物線E：y²=4x上，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，列出方程求出a，b即可求解橢圓方程．
（2）設出直線方程，A，B，M坐標，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理化簡求出M，代入拋物線方程，求解即可．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經過點$P（{1，\frac{3}{2}}）$，離心率e=$\frac{1}{2}$．
可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1$，$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$--------------------3分
（2）設直線l：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．-----4分
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0-----6分△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0
即4k²-m²+3＞0 （1）----8分
又${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$
故$M（{-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}}）$
將$M（{-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}}）$代入y²=4x得${m^2}=-\frac{{16k（{3+4{k^2}}）}}{9}，（{k≠o}）----（2）$-------10分
將（2）代入（1）得：16²k²（3+4k²）＜81
解得$-\frac{{\sqrt{6}}}{8}＜k＜\frac{{\sqrt{6}}}{8}$，且k≠0．即k∈$（{-\frac{{\sqrt{6}}}{8}，0}）∪（{0，\frac{{\sqrt{6}}}{8}}）$．--12分．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系以及拋物線方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．