Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，求使得T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1，公差為d=2的等差數(shù)列，由此求出a_n=2n-1．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法得T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，由T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立，得

m

20

≥

1

2

，由此能求出最小正整數(shù)m．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=an²+bn，且a₁=1，a₂=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1，公差為d=2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
∵T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立，
∴

m

20

≥

1

2

，解得m≥10，
∴最小正整數(shù)m為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查最小正整數(shù)m的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．