已知函數(shù)f(x)=alnx-x+
a-1x
．
（Ⅰ）若a=4，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域內(nèi)無極值，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，進而得到f（x）的極值；
（Ⅱ）由于f（x）在定義域內(nèi)無極值，則f′（x）≥0或f′（x）≤0在定義域上恒成立，進而得到a滿足的條件．
解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴f(x)=4lnx-x+
3
x
，(x＞0)
f′(x)=
4
x
-1-
3
x2
=
-x2+4x-3
x2

令f′（x）=0，解得x=1或x=3．
當0＜x＜1或x＞3時，f′（x）＜0
當1＜x＜3時，f′（x）＞0
又∵f（1）=2，f（3）=4ln3-2
∴f（x）取得極小值2，極大值4ln3-2．
（Ⅱ）f(x)=alnx-x+
a-1
x
，(x＞0)
f′(x)=
a
x
-1-
a-1
x2
=
-x2+ax-(a-1)
x2
=-
[x-(a-1)](x-1)
x2

令f′（x）=0，x=a-1或x=1
∵f（x）在定義域內(nèi)無極值，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在定義域上恒成立．
∴a-1=1，解得a=2
故實數(shù)a的取值范圍為a=2．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導數(shù)知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結論．

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