已知函數(shù)f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,對(duì)∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)當(dāng)0<x<y<e2且x≠e時(shí),試比較與的大。
[解析] (1)f ′(x)=a-=,當(dāng)a≤0時(shí),f ′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)在(0,+∞)上沒有極值點(diǎn);
當(dāng)a>0時(shí),由f ′(x)≤0得0<x≤,
由f ′(x)≥0得x≥,
∴f(x)在(0,]上單調(diào)遞減,在[,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)在x=處有極小值.
∴當(dāng)a≤0時(shí)f(x)在(0,+∞)上沒有極值點(diǎn),
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上有一個(gè)極值點(diǎn).
(2)∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,∴a=1,
∴f(x)≥bx-2⇔1+-≥b,
令g(x)=1+-,則g′(x)=--=,由g′(x)≥0得x≥e2,
由g′(x)≤0得0<x≤e2,因此可得g(x)在(0,e2]上單調(diào)遞減,在[e2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-.
(3)令h(x)=-=g(x)-1,
由(2)可知g(x)在(0,e2)上單調(diào)遞減,則h(x)在(0,e2)上單調(diào)遞減
∴當(dāng)0<x<y<e2時(shí),h(x)>h(y),即>.
當(dāng)0<x<e時(shí),1-lnx>0,∴>,
當(dāng)e<x<e2時(shí),1-lnx<0,∴<.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省南昌市高一5月聯(lián)考數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3,x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式f(x)< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆遼寧盤錦市高一第一次階段考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(12分)已知函數(shù)f(x)= (a,b為常數(shù),且a≠0),滿足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一實(shí)數(shù)解,求函數(shù)f(x)的解析式和f[f(-4)]的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省萊蕪市高三上學(xué)期10月測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分l2分)
已知函數(shù)f(x)=a-
(1)求證:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
( (本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=(a-1)x+aln(x-2),(a<1).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a<0時(shí),對(duì)任意x1、x2∈(2,+∞),<-4恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆黑龍江省高一期末考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(12分)已知函數(shù)f(X)=㏒a(ax-1) (a>0且a≠1)
(1)求函數(shù)的定義域 (2)討論函數(shù)f(X)的單調(diào)性
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