Question

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）若(1-a)b＞

1

4

，求證：

(1-a)+b

2

＞

1

2

．
（2）求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三數(shù)中至少有一個(gè)小于或等于

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由于(1-a)b＞

1

4

，再由基本不等式可得

(1-a)+b

2

≥2

(1-a)b

，由此證得命題成立．
（2）用反證法，假設(shè)（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三數(shù)都大于

1

4

，由（1）得

(1-a)+b

2

＞

1

2

，同理可得

(1-b)+c

2

＞

1

2

，

(1-c)+a

2

＞

1

2

，把這三個(gè)不等式相加可推出矛盾，故假設(shè)不正確，即命題正確．

解答：解：（1）a，b，c∈（0，1），∴1-a＞0，b＞0．
∵(1-a)b＞

1

4

，∴

(1-a)+b

2

≥

(1-a)b

＞

1 4

=

1

2

．
故

(1-a)+b

2

＞

1

2

成立．
（2）證明：假設(shè)（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三數(shù)都大于

1

4

，由（1）得

(1-a)+b

2

＞

1

2

，
同理可得

(1-b)+c

2

＞

1

2

，

(1-c)+a

2

＞

1

2

，
把這三個(gè)不等式相加可得

(1-a)+b

2

+

(1-b)+c

2

+

(1-c)+a

2

＞

3

2

，即

3

2

 ＞

3

2

，矛盾，
從而得到假設(shè)不成立，即（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三數(shù)中至少有一個(gè)小于或等于

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查用反證法、放縮法證明數(shù)學(xué)命題，基本不等式的應(yīng)用，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于中檔題．