．將一邊長為4的正方形紙片按照圖中的虛線所示的方法剪開后拼接為一正四棱錐,則該正四棱錐的體積為               .

在數列中，，且，則該數列中相鄰兩項乘積的最小值為__________.

．已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，過F₁且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是____________．

設為坐標原點,給定一個定點, 而點在正半軸上移動,表示的長,則△中兩邊長的比值的最大值為          ．

若對且總有不等式成立，則實數a的取值范圍是__________．

．如果對于函數定義域內任意的兩個自變量的值，當時,都有，且存在兩個不相等的自變量值,使得,就稱為定義域上的不嚴格的增函數．已知函數的定義域、值域分別為、，,, 且為定義域上的不嚴格的增函數，那么這樣的共有____個．

（本小題滿分14分）

設已知，，其中．

(1)若，且，求的值；

(2)若，求的值．

（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且，側面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，點G為AD的中點.

（1）求證：BG面PAD；

（2）E是BC的中點，在PC上求一點F，使得PG面DEF.

（本小題滿分15分）

某企業(yè)有兩個生產車間分別在A，B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A，B，C中任意兩點間的距離均有1 km，設∠BDC＝，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．

（1）寫出S關于的函數表達式，并指出的取值范圍；

（2）問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？

（本小題滿分15分）

如圖，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓短軸的一個端點，過的直線與橢圓交于兩點，的面積為，的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．