設(shè)數(shù)列{a_n}(n＝1，2…)是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{a_n}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．

(1)若a₁＝4，d＝2，判斷該數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”，并說明理由？

(2)設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，若公差d＝1，a₁＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求{a_n}的通項公式，若不存在，說明理由；

(3)試問：數(shù)列{a_n}為“封閉數(shù)列”的充要條件是什么？給出你的結(jié)論并加以證明．

設(shè)P(a，b)(a·b≠0)、R(a，2)為坐標(biāo)平面xoy上的點，直線OR(O為坐標(biāo)原點)與拋物線y²＝x交于點Q(異于O)．

(1)若對任意ab≠0，點Q在拋物線y＝mx²＋1(m≠0)上，試問當(dāng)m為何值時，點P在某一圓上，并求出該圓方程M；

(2)若點P(a，b)(ab≠0)在橢圓x²＋4y²＝1上，試問：點Q能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說明理由；

(3)對(1)中點P所在圓方程M，設(shè)A、B是圓M上兩點，且滿足|OA|·|OB|＝1，試問：是否存在一個定圓S，使直線AB恒與圓S相切．

已知函數(shù)f(x)＝

(1)判斷并證明y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)若存在x₀，使f(x₀)＝x₀，則稱x₀為函數(shù)f(x)的不動點，現(xiàn)已知該函數(shù)有且僅有一個不動點，求a的值，并求出不動點x₀；

(3)若f(x)＜2x在x∈(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．

(如圖)已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長均為1，M為棱A₁B₁上的點，N為棱BB₁的中點，異面直線AM與CN所成角的大小為arccos，求的值．

在△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的對邊，已知∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2(＋1)，求△ABC的面積S_△ABC．

從數(shù)列{a_n}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列{a_n}的一個子數(shù)列．

設(shè)數(shù)列{a_n}是一個首項為a₁、公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列．

(1)若a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，求其公比q．

(2)若a₁＝7d，從數(shù)列{a_n}中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問該數(shù)列是否為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．

(3)若a₁＝1，從數(shù)列{a_n}中取出第1項、第m(m≥2)項(設(shè)a_m＝t)作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項．求證：當(dāng)t為大于1的正整數(shù)時，該數(shù)列為{a_n}的無窮等比子數(shù)列．

已知橢圓C：(a＞b＞0)，其左、右焦點分別為F₁(－c，0)、F₂(c，0)，且a、b、c成等比數(shù)列．

(1)求的值．

(2)若橢圓C的上頂點、右頂點分別為A、B，求證：∠F₁AB＝90°．

(3)若P為橢圓C上的任意一點，是否存在過點F₂、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．

如圖，反比例函數(shù)y＝f(x)(x＞0)的圖像過點A(1，4)和B(4，1)，點P(x，y)為該函數(shù)圖像上一動點，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為C、D．記四邊形OCPD(O為坐標(biāo)原點)與三角形OAB的公共部分面積為S．

(1)求S關(guān)于x的表達式；

(2)求S的最大值及此時x的值．

在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD－A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為10．

(1)求棱A₁A的長；

(2)若A₁C₁的中點為O₁，求異面直線BO₁與A₁D₁所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．

已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有兩個虛根x₁，x₂，且(1－3ai)i＝c－(i為虛數(shù)單位)，|x₁－x₂|＝1，求實數(shù)b的值．