已知f（x）為偶函數(shù)，且f（1+x）=f（3-x），當(dāng)-2≤x≤0時，f（x）=3^x，若n∈N^*，a_n=f（n），則a₂₀₁₁=（　　）

A．- 1 3

B．3

C．-3

D． 1 3

已知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足f（4）=1，對任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＜0．
（1）求f（1）；              
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

已知f（x）為R上的偶函數(shù)，對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）且當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，給出四個命題：
①f（3）=0； ②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)；   ④函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有四個零點(diǎn)．
其中所有正確命題的序號為______．

已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為0的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x，y有f（x）f（y）=f（x+y），當(dāng)x＞0時，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并證明f（x）恒正；
（Ⅱ）判斷f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=

1

3

，a_n=f（n）（n為正整數(shù)）．令b_n=f（S_n），問數(shù)列{b_n}中是否存在最大項(xiàng)？若存在，求出最大項(xiàng)的值；若不存在，試說明理由．

已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且當(dāng)x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln

1-x

1+x

是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性，并加以證明．

已知函數(shù)f（t）滿足對任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）證明：對一切大于1的正整數(shù)t，恒有f（t）＞t；
（3）試求滿足f（t）=t的整數(shù)t的個數(shù)，并說明理由．

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x-1，x≤0 log2(x+1)，x＞0

如果f（x₀）＜1，求x₀的取值范圍．

設(shè)f（x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在x^*∈（0，1），使得f（x）在[0，x^•]上單調(diào)遞增，在[x^•，1]單調(diào)遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數(shù)，x^•為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間．
對任意的[0，1]上的單峰函數(shù)f（x），下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．
（Ⅰ）證明：對任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），則（0，x₂）為含峰區(qū)間；若f（x₁）≤f（x₂），則（x₁，1）為含峰區(qū)間；
（Ⅱ）對給定的r（0＜r＜0.5），證明：存在x₁，x₂∈（0，1），滿足x₂-x₁≥2r，使得由（Ⅰ）確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r；
（Ⅲ）選取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂由（Ⅰ）可確定含峰區(qū)間為（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x₃，由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可確定是一個新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，x₂）的情況下，試確定x₁，x₂，x₃的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34．
（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）．

定義在R₊上的函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)a，b∈R₊，均有f（ab）=f（a）+f（b）成立，且當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）
（2）求證：f（x）為減函數(shù)．
（3）當(dāng)f（4）=-2時，解不等式f（x-3）+f（5）≥-1．