已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為＝(ρ∈R)，曲線C₁，C₂相交于點(diǎn)M，N．

(1)將曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)求線段MN的長(zhǎng)．

如圖，已知△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥BC，垂足為E，連結(jié)OE．若CD＝，∠ACB＝30°，分別求AB，OE的長(zhǎng)．

設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－ax²－bx

(1)若x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．

(2)當(dāng)a＝0，b＝－1時(shí)，函數(shù)F(x)＝f(x)－λx²有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)λ的值．

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點(diǎn)，M是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線MA交直線l：x＝9

于G點(diǎn)，直線MB交直線l于H點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)試探求以GH為直徑的圓是否恒經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝2，點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC邊上移動(dòng)．

(Ⅰ)求證：當(dāng)N是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面PAC；

(Ⅱ)證明，無(wú)論N點(diǎn)在BC邊上何處，都有PN⊥AM；

(Ⅲ)當(dāng)BN等于何值時(shí)，PA與平面PDN所成角的大小為45°．

甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行下棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分(無(wú)平局)，比賽進(jìn)行到有一個(gè)人比對(duì)方多2分或比滿8局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．

(Ⅰ)如下圖為統(tǒng)計(jì)這次比賽的局?jǐn)?shù)n和甲、乙的總得分S，T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸人a＝l．b＝0；如果乙獲勝，則輸人a＝0，b＝1．請(qǐng)問(wèn)在①②兩個(gè)判斷框中應(yīng)分別填寫什么條件？

(Ⅱ)求p的值；

(Ⅲ)設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和Eξ．

已知，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＝1，a_n+1＝f(a_n)(n∈N^*)

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2012的最小正整數(shù)n．

設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx－3(a∈R)，g(x)＝．

(Ⅰ)若函數(shù) g(x)的圖象在點(diǎn)(0，0)處的切線也恰為f(x)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x∈(0，e]，都有唯一的x₀∈[e^－4，e]，使得f(x₀)＝g(x)成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

已知橢圓C：(a＞0，b＞0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切．又設(shè)P(4，0)，A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q，并寫出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

(Ⅲ)求·的取值范圍．

若將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)直二面角，且EA⊥平面ABD，AE＝a(如圖)．

(Ⅰ)若a＝2，求證：AB∥平面CDE；

(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的值，使得二面角A－EC－D的大小為60°．