已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.

已知A,B分別是橢圓C₁:+=1的左、右頂點(diǎn),P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),Q是雙曲線C₂:-=1上異于A,B的任意一點(diǎn),a>b>0.
(1)若P（,）,Q（,1）,求橢圓C₁的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k₁,k₂,k₃,k₄,求證:k₁·k₂+k₃·k₄為定值.

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁(-2,0),F₂(2,0),點(diǎn)A(2,3)在橢圓C₁上,過(guò)點(diǎn)A的直線L與拋物線C₂:x²=4y交于B,C兩點(diǎn),拋物線C₂在點(diǎn)B,C處的切線分別為l₁,l₂,且l₁與l₂交于點(diǎn)P.
(1)求橢圓C₁的方程;
(2)是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點(diǎn)P?若存在,指出這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)P的坐標(biāo));若不存在,說(shuō)明理由.

如圖所示,已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)),且|MN|=3,已知橢圓D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且過(guò)點(diǎn)（,）.

(1)求圓C和橢圓D的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點(diǎn),求證:直線NA與直線NB的傾斜角互補(bǔ).

已知橢圓E:+=1(a>b>0),以拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn),與直線x=-4相交于Q點(diǎn),P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-,0),(,0),離心率是.直線y=t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標(biāo);
(3)設(shè)Q(x,y)是圓P上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)t變化時(shí),求y的最大值.

如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,過(guò)左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn),=4.

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′,過(guò)P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2,在y軸上截得線段長(zhǎng)為2.
(1)求圓心P的軌跡方程;
(2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為,求圓P的方程.

已知橢圓C₁:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0),過(guò)C₁的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.

(1)求橢圓C₁的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C₂:y=x²+h(h∈R)上,C₂在點(diǎn)P處的切線與C₁交于點(diǎn)M,N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求h的最小值.

如圖,已知拋物線C₁:x²+by=b²經(jīng)過(guò)橢圓C₂:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn).

(1)求橢圓C₂的離心率;
(2)設(shè)點(diǎn)Q(3,b),又M,N為C₁與C₂不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△QMN的重心在拋物線C₁上,求C₁和C₂的方程.