（本題滿分12分）已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，
且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余數(shù).
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（本題滿分13分）
已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，
（Ⅰ）求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；
（Ⅱ）如果第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，試求的值。

(本題滿分13分)在展開(kāi)式中，求：
（1）第6項(xiàng)；  （2） 第3項(xiàng)的系數(shù)；  （3）常數(shù)項(xiàng)。

證明：。

在用0，1，2，3，4組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，
（1）偶數(shù)有多少個(gè)；
（2）個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大的數(shù)有多少個(gè)；
（3）數(shù)字1和2相鄰，且3和4不相鄰的數(shù)有多少個(gè)．

（本小題滿分12分）有4名老師和4名學(xué)生站成一排照相。
（I）4名學(xué)生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
（II）任兩名學(xué)生都不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（III）老師和學(xué)生相間排列，共有多少種不同的排法？（要求用數(shù)字作答）

（8分）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)要派5名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，則：
(1)某內(nèi)科醫(yī)生必須參加，某外科醫(yī)生不能參加，有多少種選法？
(2)至少有一名內(nèi)科醫(yī)生且至少有一名外科醫(yī)生參加有幾種選法？

在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列
（1）求展開(kāi)式的第四項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；
（3）求展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和．

已知是否存在自然數(shù)，使對(duì)任意，都有整除？如果存在，求出的最大值，并證明；若不存在，說(shuō)明理由．

已知的展開(kāi)式記為，的展開(kāi)式記為．已知的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和比的偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和大496．
（1）求中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求中的有理項(xiàng)；
（3）確定實(shí)數(shù)的值，使與中有相同的項(xiàng)，并求出相同的項(xiàng)．