科目： 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

．
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F(xiàn)是PD的中點，E是線段AB上的點．
（Ⅰ）當(dāng)E是AB的中點時，求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小為45°，試確定E點的位置．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，求AB的長．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，點C在平面PBA內(nèi)的射影D在直線PB上．
（1）求證：AB⊥平面PBC；
（2）設(shè)AB=BC，直線PA與平面ABC所成的角為45°，求異面直線AP與BC所成的角；
（3）在（2）的條件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

科目： 來源：不詳 題型：單選題

科目： 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AD的中點，則異面直線C₁E與BC所成的角的余弦值是（　　）

A． 10 5

B． 10 10

C． 1 3

D． 2 2 3

科目： 來源：不詳 題型：解答題

科目： 來源：不詳 題型：解答題

如圖直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分別以O(shè)C，OA，OS為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz．
（Ⅰ）求

SC

與

OB

夾角的余弦值；
（Ⅱ）求OC與平面SBC夾角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點P在邊AB上，設(shè)

AP

=λ

PB

（λ＞0），過點P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求證：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正實數(shù)λ，使得二面角C-A′B′-P的大小為90°？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O點到平面ACD的距離．