如圖直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分別以O(shè)C，OA，OS為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz．
（Ⅰ）求
SC
與
OB
夾角的余弦值；
（Ⅱ）求OC與平面SBC夾角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．
（Ⅰ）如圖所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）．
∴
SC
=（2，0，-1），
OB
=（1，1，0），
∴cos＜
SC
，
OB
＞=
2
5
•
2
=
10
5
．
∴
SC
與
OB
夾角的余弦值為
10
5
．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)平面SBC的法向量
n
=（1，p，q），
∵
SC
=（2，0，-1），
CB
=（-1，1，0），
∴
2-q=0
-1+p=0
，∴
p=1
q=2
，
∴
n
=（1，1，2），…（6分）
又∵
OC
=（2，0，0），
∴cos＜
n
，
OC
＞=
n
•
OC
|
n
||
OC
|
=
2
6
×2
=
6
6

∴OC與平面SBC夾角的正弦值為
6
6
；…（8分）
（Ⅲ）∵SO⊥平面OABC，∴
OS
=（0，0，1）為平面OABC的法向量．
又∵平面SBC的法向量
n
=（1，1，2），
∴cos＜
n
，
OS
＞=
n
•
OS
|
n
||
OS
|
=
2
6
=
6
3
．
∴二面角S-BC-O的余弦值為
6
3
．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為
π
4
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=3A'B'，則AB與平面β所成的角的正弦值是（　　）
A．
14
6
B．
5
5
C．
22
6
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點(diǎn)D在線段AC上，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．
（Ⅰ）求證：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=
2
，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面ACE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的點(diǎn)，AB1∥平面BC1Q．
（Ⅰ）確定點(diǎn)Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為
2
4
，求二面角Q-BC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，P是底面A1B1C1D1的中心，M是CD的中點(diǎn)，則P到平面AMD1的距離為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角C1-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC1成60°角？若存在，確定E點(diǎn)位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在?ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點(diǎn),則=______(用a,b表示).

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同步練習(xí)冊(cè)答案