在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），其中λ＞0，
(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項公式；
(Ⅱ)求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
(Ⅲ)證明存在k∈N*，使得對任意n∈N*均成立。

某國采用養(yǎng)老儲備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a₁，以后第年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數(shù)列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利，這就是說，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍₂（1+r）^n-2，……，以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額。
（1）寫出T_n與T_n-1（n≥2）的遞推關(guān)系式；
（Ⅱ）求證：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數(shù)列，{B_n}是一個等差數(shù)列。

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n(n∈N*)，
(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
(Ⅱ)求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n。

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1+，S₂=9+。
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n與前n項和為S_n；
（2）設(shè)（n∈N*），求證：數(shù)列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列。

設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，則通項a_n=（    ）。

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0且。
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=，記S_k=，證明：S_n＜1。

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N*）。
（1）試計算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表達(dá)式；
（2） 證明你的猜想，并求出a_n的表達(dá)式。

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖甲、乙、丙、丁為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(n)的表達(dá)式為（    ）。

如圖所示，是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，圖中的“小黑點”表示原子，兩黑點間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖有化學(xué)鍵

數(shù)列中，，（c是不為零的常數(shù)，n=1，2，3…..），且成等比數(shù)列。 （1）求c的值；
（2）求的通項公式。