設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g_n（x）=1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

（n∈N₊）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥g₁（x）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥g₂（x）；
（Ⅲ）當(dāng)x≥0時(shí)，比較f（x）與g_n（x）的大小，并證明．

若由1，x，x²構(gòu)成的集合中含有兩個(gè)實(shí)數(shù)，求出x滿足的條件．

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，2t]（t＞0）上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₂-x₁＜ln2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且a＞-1，則存在x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，試用這個(gè)結(jié)論證明：若-1＜x₁＜x₂，函數(shù)g（x）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

（x-x₁）+f（x₁），則對(duì)任意x∈（x₁+x₂），都有f（x）＞g（x）．

（x+yi）²=y+xi，y和x都為實(shí)數(shù)，求x，y的值．

求下列函數(shù)的值域：y=

2x+3

x+1

（x≥1）．

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為常數(shù)）．
（1）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）≤（a+2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x³-2ax²-3x．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程；
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB=2CD，在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使平面C₁CF∥ADD₁A₁？若存在，求點(diǎn)F的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知函數(shù)f（x）=xlnx+1．
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[e^-2，e²]上的最大值與最小值；
（2）若x＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=kx上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)n∈N^*時(shí)，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．