正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（

an+1

2

）²．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列并求其通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

1

anan+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明：

1

3

≤T_n＜

1

2

．

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知c²=bccosA+cacosB+abcosC．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若

AB

•

BC

=-3，

AB

•

AC

=9，求角B的大�。�

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC，E、F分別為AB、PB的中點．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）求DB與平面DEF所成角的正弦值；
（3）在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．

公比為正的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2a₁+a₂=a₃，S₃+2=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）令b_n=log₂a_n，數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和為T_n，求使得T_n＞

2012

2013

成立的最小正整數(shù)n的值．

數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，當(dāng)n≥2時，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=3^n-1a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）證明：{b_n}為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{

an

n

}的前n項和為S_n，是否存在正整數(shù)m，n使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對（m，n）；若不存在，請說明理由．

如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點（0，1），且被x軸分成的兩段弧長之比為2：1，過點H（0，t）的直線l與圓C相交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O．
（1）求圓C的方程；
（2）當(dāng)t=1時，求出直線l的方程；
（3）求直線OM的斜率k的取值范圍．

某學(xué)校為響應(yīng)省政府號召，每學(xué)期派老師到各個民工子弟學(xué)校支教，以下是該學(xué)校50名老師上學(xué)期在某一個民工子弟學(xué)校支教的次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果：

支教次數(shù)	0	1	2	3
人數(shù)	5	10	20	15

根據(jù)上表信息解答以下問題：
（1）從該學(xué)校任選兩名老師，用η表示這兩人支教次數(shù)之和，記“函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（4，5）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P₁；
（2）從該學(xué)校任選兩名老師，用ξ表示這兩人支教次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

如圖，圓x²+y²=8內(nèi)有一點P₀（-1，2），AB為過點P₀且傾斜角為α的弦．
（1）當(dāng)α=135°時，求直線AB的方程；
（2）當(dāng)弦AB最短時，求直線AB的方程．

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n+2 an，求數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n．

不用計算器求下列各式的值．
（1）2x

1

4

y-

1

3

•（3x-

1

2

y

2

3

）•（4x

1

4

y

2

3

）（x、y都是正數(shù)）
（2）

lg8+lg125-lg2-lg5

lg 10 lg0.1

．