Question

正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（

an+1

2

）²．
（Ⅰ）證明數列{a_n}為等差數列并求其通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

1

anan+1

，數列{c_n}的前n項和為T_n，證明：

1

3

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，又數列{a_n}為正項數列，推導出{a_n}是首項為1公差為2的等差數列，由此求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）由c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由裂項求和法求出T_n=

n

2n+1

．由此能證明

1

3

≤Tn＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）證明：由Sn=(

an+1

2

)2，得a1=S1=(

a1+1

2

)2，解得a₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，
整理，得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
又數列{a_n}為正項數列，
∴a_n-a_n-1=2，n≥2．
∴{a_n}是首項為1公差為2的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∵n∈N^*，∴T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
T_n-T_n-1=

n

2n+1

-

n-1

2n-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

＞0，
∴數列{T_n}是一個遞增數列，∴Tn≥T1=

1

3

．
綜上所述：

1

3

≤Tn＜

1

2

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．