Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=（

an+1

2

）²．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

1

anan+1

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：

1

3

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，又?jǐn)?shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，推導(dǎo)出{a_n}是首項(xiàng)為1公差為2的等差數(shù)列，由此求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）由c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由裂項(xiàng)求和法求出T_n=

n

2n+1

．由此能證明

1

3

≤Tn＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）證明：由Sn=(

an+1

2

)2，得a1=S1=(

a1+1

2

)2，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，
整理，得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
又?jǐn)?shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=2，n≥2．
∴{a_n}是首項(xiàng)為1公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∵n∈N^*，∴T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
T_n-T_n-1=

n

2n+1

-

n-1

2n-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

＞0，
∴數(shù)列{T_n}是一個遞增數(shù)列，∴Tn≥T1=

1

3

．
綜上所述：

1

3

≤Tn＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．