如圖，在正四面體PABC中，若E，F(xiàn)分別在棱PC，AB上，且

|CE|

|PC|

=

|AF|

|AB|

=

1

3

，則異面直線PF與BE所成的角的余弦值為．

函數(shù)f（x）=x-2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是．

已知x=1是函數(shù)f(x)=2x+

a

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

已知數(shù)列{a_n}中，a₉=

1

7

，a_n+1=

an

3an+1

．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）求a_n．

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線段F₁F₂被拋物線y²=2bx的焦點(diǎn)分成3：1的兩段，過點(diǎn)C（-1，0），斜率k為的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，滿足

AC

=2

CB

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)三角形OAB的面積最大時(shí)，求橢圓的方程．

我國(guó)政府對(duì)PM2.5采用如下標(biāo)準(zhǔn)：

PM2.5日均值m（微克/立方米）	空氣質(zhì)量等級(jí)
m＜35	一級(jí)
35≤m≤75	二級(jí)
m＞75	超標(biāo)

某市環(huán)保局從180天的市區(qū)PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取l0天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（Ⅰ）求這10天數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（Ⅱ）從這l0天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記ξ表示空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以這10天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)這180天的空氣質(zhì)量情況，記η為這180天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求η的均值．

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面邊長(zhǎng)為2，AA₁=4

2

，AC₁=2AF，AD⊥B₁D，AE=

1

2

B₁E．
（1）證明：DF∥平面ABB₁A₁；
（2）求三棱錐A-DEF的體積．

證明：函數(shù)f（x）=2x³-6x²在（0，2）內(nèi)是減函數(shù)．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}中，公差d=2，且b₁+b₂+b₃=15．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

已知如圖（1），梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=2，E、F分別是AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且EF∥BC，設(shè)AE=x（0＜x＜2），沿EF將梯形ABCD翻折，使使平面AEFD⊥平面EBCF，如圖（2）．

（1）求證：平面ABE⊥平面ABCD；
（2）若以B、C、D、F為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值．