如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn)，AB=AD，記∠CAD=α，∠ACB=β．
（Ⅰ）證明：sinα=cos2β；
（Ⅱ）若AC=

3

DC，求β的值．

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1

x

-1；
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）證明：對任意的正整數(shù)n，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

都成立．
（3）是否存在過點(diǎn)（1，-1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度時(shí)，給出的區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)，該數(shù)越接近10表示越滿意，為了解某大城市市民的幸福感，隨機(jī)對該城市的男、女各500人市民進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示：

幸福感指數(shù)	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10）
男市民人數(shù)	10	20	220	125	125
女市民人數(shù)	10	10	180	175	125

根據(jù)表格，解答下面的問題：
（Ⅰ）完成頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估算該城市市民幸福感指數(shù)的平均值；（參考數(shù)據(jù)：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646）
（Ⅱ）如果市民幸福感指數(shù)達(dá)到6，則認(rèn)為他幸福．據(jù)此，在該市隨機(jī)調(diào)查5對夫婦，求他們之中恰好有3對夫婦二人都幸福的概率．（以樣本的頻率作為總體的概率）

已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，向量

α

=（cos

A-B

2

，

3

sin

A+B

2

），|

α

|=

2

．如果當(dāng)C最大時(shí)，存在動點(diǎn)M，使得|

MA

|，|

AB

|，|

MB

|成等差數(shù)列，則

| MC |

| AB |

最大值是．

已知直線4x+3y=10和2x-y=10．
（1）直線ax+2y+8=0過兩條直線的交點(diǎn)，求a的值；
（2）過兩條直線的交點(diǎn)，且與直線4x-y+5=0平行的直線方程．

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b，不等式xf（x）＜0的解集為（1，3）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（2^x）-k•2^-x-k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=3x+

12

3x

（x＜0），求函數(shù)f（x）的最大值，以及取得最大值時(shí)x的值．

編號為A₁，A₂，…，A₁₆的16名籃球運(yùn)動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下：

編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
得分	25	35	21	33	25	16	34	18
編號	A9	A10	A11	A12	A13	A14	A15	A16
得分	17	38	15	28	22	12	31	26

（Ⅰ）將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格：

區(qū)間	[10，20]	[20，30]	[30，40]
人數(shù)

（Ⅱ）從得分在區(qū)間[20，30）內(nèi)的運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人，用運(yùn)動員的編號列出所有可能的抽取結(jié)果，并求這2人得分之和大于50分的概率．

已知函數(shù)f（x）=

3

Asinxcosx+Acos²x-

A

2

（x∈RA為常數(shù)且A＞0）的最大值為2．
（1）求f（π）的值；
（2）若sinθ=-

3

5

，θ∈（-

π

2

，0），求f（θ+

π

6

）．

在等比數(shù)列{a_n}中，a₄=8a₁，則公比q的值為（　　）